Krzywa afera

Ostatnio "poprztykałem" się z JKM na jego blogu na temat krzywej Laffera. On twierdzi, że krzywa ta może sobie falować i mieć wiele maksimów lokalnych, ja się z tym nie zgadzam. Napisałem:

Myli się Pan, Prezesie. Krzywa ta może mieć tylko jedno maksimum i zawsze będzie wypukła do góry (oczywiście przy założeniu, że oprócz wysokości podatku nie zachodzą żadne inne istotne zmiany, jak na przykład zaostrzenie kar za oszukiwanie fiskusa). Aby krzywa "wygięła się" w drugą stronę, wpływy z podatków musiałyby przyrastać szybciej niż gdyby proporcja ta była liniowa, czyli gdyby podnoszenie podatków zniechęcało do oszukiwania fiskusa, a wiadomo, że jest dokładnie odwrotnie. Dodałem odsyłacz do mojego wyczerpującego, jak mi się wydawało, artykułu Prosta Krzywa.

JKM:
Nie mylę się. Nikt nie powiedział, że krzywa użyteczności ludzi jest liniowa, ani że kary są liniowe, ani że łatwość oszukiwania na podatkach jest liniowa (np. gdy ustawowo podatnicy  z małą stopą opodatkowania sprawdzani są przez biuro A, ze średnią przez biuro B, z najwyższą przez biuro C - a wiadomo, że w biurze B panuje tolerancja...) .  Oczywiście w praktyce w 99% będzie jedno maksimum - ale mówimy o teorii... 

Ja:
Pozostaję na stanowisku, że krzywa Laffera może mieć tylko jedno maksimum. Zgadzam się, że wymienione przez Pana zmienne mają wpływ na wysokość wpływów do budżetu państwa, ale nie mogą być uwzględniane przy tego typu rozważaniach.

Możliwości są dwie: albo zmienne te są funkcją wysokości podatków, albo, że są od nich niezależne.
Pierwszy przypadek można odrzucić, bo człowiek nie stanie się ani mniej ani więcej użyteczny po podwyżce podatków, a nawet jeśli tak będzie, to trudno się spodziewać, że podwyżka z 10 na 15 procent obniży jego użyteczność, a z 20 na 25 zadziała przeciwnie. To samo z karami - można podnieść podatek i obniżyć kary, a można też obniżyć podatek wraz z karami - nie ma między nimi żadnej zależności, poza wolą pana Rostowskiego.

A jeśli czynniki te nie są zależne od wysokości podatków, to, aby je uwzględnić, należy traktować je jak kolejne argumenty tej funkcji, rozszerzając jej wykres o kolejne wymiary, ale wówczas krzywa Laffera przestaje być krzywą, a zaczyna być powierzchnią, albo i bardziej skomplikowanym, wielowymiarowym tworem.

Pańskie dotychczasowe podejście można porównać do zadania z fizyki: naszkicuj wykres zależności naciągu łuku do odległości na jaką poleci strzała. Zadanie proste, ale w tym wykresie Pan stara się dodatkowo uwzględnić wszystkie możliwe materiały, z jakich zbudowane są łuk i strzała, pełen zakres temperatury i ciśnienia powietrza, zmienne pole grawitacyjne. Nic mądrego z tego nie może wyniknąć.

Dlatego do rozważań musimy przyjąć, że wszystkie parametry niezależne od wysokości opodatkowania są stałe, bo jeśli nie, to będziemy mieli do czynienia z wielowymiarową funkcją o dość trudnym do modelowania przebiegu, ale i tak zawsze każdy dwuwymiarowy przekrój tej funkcji równoległy do osi wysokości podatków P i osi wpływów do budżetu W będzie mniej lub bardziej symetrycznym, czy regularnym, ale zawsze "łukiem" wypukłym w kierunku od osi P i z jednym maksimum Wo, czyli dokładnie tak, jak przedstawił był to Artur Laffer. A zatem pozostałe parametry w tych rozważaniach można pominąć, jako nieistotne.

Bardzo częstym problemem w zrozumieniu krzywej Laffera, który musi prowadzić do podobnych, fałszywych wniosków jest to, że, świadomie lub nie, traktuje się krzywą Laffera jako funkcję czasu. Tak jakby się zakładało, że pan Laffer proponuje eksperyment: dziś podatki są zerowe i stopniowo będziemy podnosić je przez rok do stu procent, a krzywa pokazuje jak w ciągu roku zmieniać się będą się dzienne wpływy, przy jednoczesnym założeniu że w czasie tego roku życie płynie swoim tokiem i wszystko może się zdarzyć - zmiany w prawie podatkowym, strajk związkowców, krach na giełdzie, wojna.

Świetnie to widać w komentarzu antaresa, który pisze: W pewnym momencie Bolek potrącony przez samochód, trafił do szpitala i nie kupił swoich 30 flaszek. I kuracja szpitalna trwał pół roku. Sytuacja pańska stała się "wypukła" w dół. Czyli zakłada, że na przykład kiedy podatek wynosi 20 procent Bolek jest zdrowy, a kiedy wynosi 30 procent Bolek jest w szpitalu. Jest to błąd na poziomie podstawowym. Innym błędem podstawowym jest modelowanie krzywej dla jednego podatnika, ale o tym za chwilę.

Krzywa Laffera nie ma osi czasu. Ilustruje jaki wpływ do budżetu byłby DZIŚ, gdyby podatek wynosił 20 procent, oraz jaki byłby DZIŚ, gdyby wynosił 30 procent. Możemy oczywiście wykreślić dwie krzywe - jedną dla (pozostając już przy tej niefortunnej retoryce antaresa) Bolka w szpitalu, drugą dla Bolka zdrowego i obie te krzywe będą od siebie nieco różne, ale obie będą miały te same cechy charakterystyczne dla krzywej Laffera, o których już nieraz pisałem.

Trudność w zrozumieniu tego bierze się stąd, że jest to koncepcja o pewnym poziomie abstrakcji, bo bardzo nieintuicyjne jest wyobrażenie sobie, że w tym samym momencie obowiązują różne podatki (rzeczywistość równoległa) - stąd, często nieświadome, podmienienie osi stopy podatku P osią czasu t, z założeniem, że stopa podatku jest liniową funkcją czasu P(t). Różnica jest taka, że prawo podatkowe oraz pewne inne czynniki, które są niezależne od wysokości podatków P, są zmienne w czasie t (zależą od czasu), zatem po tej podmianie wpływy do budżetu państwa stają się funkcją nie tylko stopy podatkowej, ale też wielu innych argumentów.

 Drugim błędem jest rozważanie krzywej Laffera dla jednego podatnika. Podatnik zazwyczaj nie rezygnuje z płacenia tylko drobnej części podatku, przy każdej drobnej zmianie stopy. On niski podatek będzie płacił równo (wzrost liniowy), przy pewnej wartości zatai na przykład połowę swojego przychodu, w tym punkcie funkcja będzie nieciągła a podatek dla pewnych wartości znów zacznie przyrastać liniowo. Przy innej stopie Bolek zrezygnuje z pracy w ogóle. Wykres nie będzie ani ciągły, ani nie będzie przypominał krzywej Laffera. Podobnie z bezrobociem - jeden podatnik albo ma pracę gdy podatki są niskie, albo jej nie ma, ale nigdy nie jest tak, że bezrobocie jednej osoby wynosi 20 procent.

Podobny błąd popełnia marekgwozdz, gdy pisze (poprawiłem pisownię):

Wraz ze wzrostem podatków najpierw zaczyna działać pierwsza grupa ludzi, tych tzw "cwaniaków" czyli osób dla których naturalne jest ciągłe szukanie dziur w systemie i stać ich na to. I wpływy obniżają się gdyż mają oni więcej motywacji do unikania podatków.
Potem dalsze podwyżki podatków mogą znowu powodować wzrost wpływów z powodów czysto arytmetycznych.
Po przekroczeniu pewnego punktu nawet zatwardziali patrioci podatkowi i osoby którym się nie chciało dochodzą do rozumu i też zaczynają kombinować. I znowu wpływy się zmniejszają.
Potem znowu mogą odrobinę rosnąć, a potem wraz z dalszym wzrostem, całe branże przestają funkcjonować i znowu mamy spadek. 

O jakich grupach pisze?  Nawet jeśli w społeczeństwie są jacyś cwaniacy, to nie są oni zorganizowaną grupą cwaniaków, którzy na sygnał przestają płacić podatki. Każdy z nich w innej sytuacji zaczyna cwaniakować. Nikt się z nikim nie umawia, że od dziś nie płaci podatków. Nie ma cwaniaków A i cwaniaków B, każdy cwaniak jest inny. Firmy też nikt nie będzie zamykał na sygnał. Jednemu interes przestanie się opłacać przy podatku 40 procent, a drugiemu przy podatku 39,96.

Dopiero po rozważeniu wpływów z podatków dla dużej grupy różnych podatników i przy założeniu, że oprócz stopy podatkowej i czynników od niej zależnych wszystkie inne czynniki są stałe, można je przybliżyć krzywą Laffera i taki też był zamysł jej autora.